Let p=f(v−w,v−u,u−w) be a differentiable function. Show that ∂p∂u+∂p∂v+∂p∂w=0
Solution Let x=v−w, y=v−u, and z=u−w. Then p=f(x,y,z). We use an extension of Chain Rule II. Since ∂x∂u=0, ∂y∂u=−1, and ∂z∂u=1, we have ∂p∂u=∂p∂x∂x∂u+∂p∂y∂y∂u+∂p∂z∂z∂u=∂p∂x(0)+∂p∂y(−1)+∂p∂z(1)=−∂p∂y+∂p∂z
856
Since ∂x∂v=1, ∂y∂v=1, and ∂z∂v=0, we have ∂p∂v=∂p∂x∂x∂v+∂p∂y∂y∂v+∂p∂z∂z∂v=∂p∂x(1)+∂p∂y(1)+∂p∂z(0)=∂p∂x+∂p∂y
Since ∂x∂w=−1, ∂y∂w=0, and ∂z∂w=−1, we have ∂p∂w=∂p∂x∂x∂w+∂p∂y∂y∂w+∂p∂z∂z∂w=∂p∂x(−1)+∂p∂y(0)+∂p∂z(−1)=−∂p∂x−∂p∂z
Adding these, we get ∂p∂u+∂p∂v+∂p∂w=(−∂p∂y+∂p∂z)⏟ ∂p∂u+(∂p∂x+∂p∂y)⏟∂p∂v+(−∂p∂x−∂p∂z)⏟∂p∂w=0